Cel mai mic multiplu comun.

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) a două sau mai multe numere naturale diferite de 0, este cel mai mic număr natural diferit de 0 care se divide cu numerele date.

Descompunerea în factori primi.

Se descompun numerele în factori primi, se aleg factorii comuni şi necomuni cu exponenţii cei mai mari şi se înmulţesc între ei.

Spre exemplu, c.m.m.m.c(384,2520):

→ 384 se descompune în factorii primi: $2^7*3^1$

→ 2520 se descompune în factorii primi: $2^3*3^2*5^1*7^1$

→ factorii comuni şi necomuni cu exponenţii cei mai mari: $2^7$$3^2$$5^1$$7^1$

→ c.m.m.m.c(384,2520) = $2^7*3^2*5^1*7^1$ = 40320

Proprietăţi comune c.m.m.m.c şi c.m.m.d.c.

Idempotenţa

→c.m.m.m.c (x,x) = x

→c.m.m.d.c (x,x) =x

Comutativitate

→c.m.m.m.c (x,y) = c.m.m.m.c (y,x)

→c.m.m.d.c (x,y) = c.m.m.d.c (y,x)

Asociativitate

→c.m.m.m.c (x, c.m.m.m.c(y,z)) = c.m.m.m.c (c.m.m.m.c(x,y),z)

→c.m.m.d.c (x, c.m.m.d.c(y, z)) = c.m.m.d.c (c.m.m.d.c (x, y), z)

Absorbţie

→c.m.m.m.c (x, c.m.m.d.c(x,y)) = x

→c.m.m.d.c (x, c.m.m.m.c(x, y)) = x

Înmulţirea

→c.m.m.m.c(x,y) × c.m.m.d.c(x,y) = x ... y

Constante

→c.m.m.m.c(x...q, y...q) = q ... c.m.m.m.c(x,y)

→c.m.m.d.c(x...q, y...q) = q ... c.m.m.d.c(x,y)

Cel mai mare divizor comun.

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) a două sau mai multe numere, este cel mai mare număr natural care divide numerele date.

→ c.m.m.d.c(40,125) = c.m.m.d.c($2^3*5^1$, $5^3$) = $5^1$ = 5

→ c.m.m.d.c(200,125) = c.m.m.d.c($2^3*5^2$, $5^3$) = $5^2$ = 25

Pentru a determina c.m.m.d.c se pot folosi următoarele metode:.

• descompunerea în factori primi.
• algoritmul lui Euclid.

Descompunerea în factori primi.

Se descompun numerele în factori primi, se aleg factorii comuni cu exponenţii cei mai mici şi se înmulţesc între ei.

→ c.m.m.d.c(384,2520)

→ 384 se descompune în factorii primi: $2^7*3^1$

→ 2520 se descompune în factorii primi: $2^3*3^2*5^1*7^1$

→ factorii comuni cu exponenţii cei mai mici: $2^3$ şi $3^1$

→ c.m.m.d.c(384,2520) = $2^3*3^1$ = 24

c.m.m.d.c = 1

Numerele care au c.m.m.d.c = 1 se numesc numere prime între ele.

→ c.m.m.d.c(33,125) = 1

→ 33 se descompune în factorii primi: $3^1*{11}^1$

→ 125 se descompune în factorii primi: $5^3$

→ singurul factor comun este numărul 1

Se poate deduce o proprietate interesantă a numerelor prime între ele.

Astfel dacă un număr natural este divizibil cu două numere naturale prime între ele, el este divizibil cu produsul acestora.